I. Liczby rzeczywiste.
Zakres podstawowy:
- Wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
- Przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:
- Dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
- Dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej;
- Stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
- Stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
- Stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax< ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay;
- Posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
- Stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5;
- Wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
- Stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
Zakres rozszerzony:
- Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
II. Wyrażenia algebraiczne.
Zakres podstawowy:
- Stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)², (a – b)², a² – b²;
- Dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
- Wyciąga poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
- Mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Dzieli wielomian jednej zmiennej W(x) przez dwumian postaci x – a;
- Rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów;
- Znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
- Stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
- Korzysta ze wzorów na: a³ + b³, a³ – b³, aⁿ – bⁿ, (a + b)ⁿ i (a – b)ⁿ;
III. Równania i nierówności.
Zakres podstawowy:
- Przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równanie:
- Interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe;
- Rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
- Rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
- Rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 oraz nierówności wielomianowe typu: W(x) > 0, W(x) 0, W(x) < 0, W(x) 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
- Rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej;
- Stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
- Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną;
- Analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności:
- Wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów,
- Podaje warunki, przy których rozwiązania mają określone znaki bądź należą do określonego przedziału,
- Wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów;
- Rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
- Rozwiązuje równania wymierne postaci gdzie wielomiany V(x) i \W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
IV. Układy równań.
Zakres podstawowy:
- Rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
- Stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.
Zakres rozszerzony:
- Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto rozwiązuje układy równań liniowych i kwadratowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego, a które nie są trudniejsze niż:
V. Funkcje.
Zakres podstawowy:
- Określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
- Oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
- Odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
- Odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
- Interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
- Wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub jej własnościach;
- Szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
- Interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
- Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
- Wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
- Wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
- Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x – a),
- y = f(x) + b;
- Posługuje się funkcją f(x) = w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
- Posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) rysuje wykresy funkcji y = -f(x), y = f(-x);
- Posługuje się złożeniami funkcji;
- Dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja f(x) = jest monotoniczna w przedziale .
VI. Ciągi.
Zakres podstawowy:
- Oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
- Oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie;
- W prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
- Sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
- Stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
- Stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
- Wykorzystuje właściwości ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;
- Rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
VII. Trygonometria.
Zakres podstawowy:
- Wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
- Korzysta z wzorów ;
- Stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta ;
- Oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Stosuje miarę łukową, zamienia stopnie na radiany i odwrotnie;
- Posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
- Wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
- Stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
- Korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
- Rozwiązuje równania trygonometryczne;
- Stosuje twierdzenie sinusów;
- Oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).
VIII. Planimetria.
Zakres podstawowy:
- Wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
- Rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
- Rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
- Korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
- Stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
- Stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
- Stosuje twierdzenie Talesa;
- Korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
- Wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
- Wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
- Przeprowadza dowody geometryczne;
- Stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;
- Stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
X. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zakres podstawowy:
- Rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
- Posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych właściwościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej);
- Oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
- Posługuje się równaniem okręgu ;
- Wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Znajduje punkty wspólne prostej i okręgu;
- Znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
- Zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie;
- Wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.
X. Stereometria.
Zakres podstawowy:
- Rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
- Posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
- Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
- Rozpoznaje w walcach i w stożkach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
- Oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii;
- Wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
- Wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
XI. Kombinatoryka.
Zakres podstawowy:
- Zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
- Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:
- obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
- obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;
- Stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego właściwości przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
Zakres podstawowy:
- Oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
- Oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
- Stosuje schemat Bernoulliego.
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
Zakres podstawowy:
- Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Zakres rozszerzony:
Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
- Oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
- Stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji;
- Stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
- Oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
- Stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
- Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.